.png)
If you are here from Facebook, hi,
if you are here directly,
here is the link to the original video :
如果你是从面子书来的，嗨，
如果你是在这里看到这个帖子的，
原视频在这里：
如果你是從面子書來的，嗨，
如果你是在這裡看到這個帖子的，
原視頻在這裡：
here is the original problem:
以下为原题：
以下為原題：
If we have a rope of 56cm, what is the biggest rectangle it can make ?
一条周长为56公分的绳子，可以为成的最大矩形面积是多少？
一條周長為56公分的繩子，可以為成的最大矩形面積是多少？Of course from the previous part of this post,
we can know that the biggest rectangle it can make is actually a square.
This problem is proposed by a father to a Science/Math Teacher 佑来了,
note that the father also knows the answer as well,
but this problem is actually a math problem from his 3rd-grade son.
This father is trying to find a way to explain
"why using the same length to make a rectangle, the biggest rectangle you can have is a square".
当然从这个帖子的上一个帖子，
我们可以知道最大的矩形其实是一个正方形。
这个题目其实是由一位父亲向理科老师 佑来了 提出的，
当然这位父亲也知道答案，
问题就出在于这是他小学三年级的儿子的数学题。
这位父亲正在尝试解释
“为什么在周长固定的情况下，最大的矩形就是正方形？”
當然從這個帖子的上一個帖子，
我們可以知道最大的矩形其實是一個正方形。
這個題目其實是由一位父親向理科老師 佑來了 提出的，
當然這位父親也知道答案，
問題就出在於這是他小學三年級的兒子的數學題。
這位父親正在嘗試解釋
“為什麼在周長固定的情況下，最大的矩形就是正方形？”
Here I have a solution, but before jumping right in, he has to know a bit of algebra.
by using visualization, things can be easily done.
以下是我的方法，但是在直接证明之前，需要先让他了解一个代数概念。
使用视觉证明，可以使证明容易理解。
以下是我的方法，但是在直接證明之前，需要先讓他了解一個代數概念。
使用視覺證明，可以使證明容易理解。
Step 1 第一步:
(S+d)(S-d) = ?
of course, we all know that is thing equals s^2 - d^2, but using direct algebra to explain this thing to him would be hard for him, so here we are going to use a diagram to help solve the problem.
当然我们知道这堆东西会是 "s^2 - d^2", 但是使用直接的代数证明对他来说太困难了，
所以我们可以用几何来证明这个公式。
當然我們知道這堆東西會是 "s^2 - d^2", 但是使用直接的代數證明對他來說太困難了，
所以我們可以用幾何來證明這個公式。
first, let's have a square with its width and height S
首先，我们先画个正方形，边长为 S。
首先，我們先畫個正方形，邊長為 S。
then select a length "d" where d < S (d must be smaller than S)
then divide the square into 4 regions
然后选择一个长度“d”，要注意的是 d < S （d 必须小于 S）
然后这个正方形可以被分割成4块区域。
然後選擇一個長度“d”，要注意的是 d < S （d 必須小於 S）
然後這個正方形可以被分割成4塊區域。
then adding a small rectangle on the top
然后在上方加多一个小长方形
然後在上方加多一個小長方形
when we ask (S+d)(S-d) = ? we can understand the question as
"What is the area of the red rectangle if we know what S and d are ?"
当我们问“（S+d）（S-d）=?”时，我们可以把问题理解为
“红色的长方形面积是多少？如果我们知道 S 和 d 的话。”
當我們問“（S+d）（S-d）=?”時，我們可以把問題理解為
“紅色的長方形面積是多少？如果我們知道 S 和 d 的話。”
we can actually (secretly) move that small rectangle on the top and fit it inside the square
其实我们可以（偷偷）的把上面的那一块塞到白色的正方形里面去。
其實我們可以（偷偷）的把上面的那一塊塞到白色的正方形裡面去。
we can see that the little square inside the big square has an area of d^2
我们也会发现到这是白色正方形里也出现了一个小的正方形，面积为d^2。
我們也會發現到這是白色正方形裡也出現了一個小的正方形，面積為d^2。
if the red region is what we want, then we know that the red region is the big square minus the small square, which is
如果红色区域是我们要的目标，
我们可以知道红色的区域其实是大正方形减小正方形，就是：
如果紅色區域是我們要的目標，
我們可以知道紅色的區域其實是大正方形減小正方形，就是：
S^2 - d^2
and so we finally know that
那我们就可以证明
那我們就可以證明
(S+d)(S-d) = S^2 - d^2
Step 2 第二步 :
Proving the real thing 开始正式证明
Say we have a rope forming a square with a side length of "f" colored white.
假设我们有一条题目中说到的绳子，但是不一定是56公分，围成一个正方形，边长为"f"，被标为白色。
假設我們有一條題目中說到的繩子，但是不一定是56公分，圍成一個正方形，邊長為"f"，被標為白色。
Let's squash the white square (not for long) such that its width decreases by a length say "g"
and so the new rope would be colored yellow,
so we know that the new width is
我们可以对正方形进行挤压，以至让宽度较少某个长度，“g”
新的长方形被标为黄色，
所以新的宽度是
我們可以對正方形進行擠壓，以至讓寬度較少某個長度，“g”
新的長方形被標為黃色，
所以新的寬度是
f-g
but what is the new height? we know that the rope length doesn't change, so we can know that :
不过新的高度是什么？我们知道绳子的长度不变，所以：
不過新的高度是什麼？我們知道繩子的長度不變，所以：
the perimeter of the previous square (white) = the perimeter of the new rectangle (yellow)
half of the white perimeter = half of the yellow perimeter
正方形周长 = 长方形周长
正方形周长的一半 = 长方形周长的一半
正方形周長 = 長方形周長
正方形周長的一半 = 長方形周長的一半
f + f = (f-g) + ?
//here, "?" represents the height of the new rectangle，
//在这里，“？”代表新长方形的高。
//在這裡，“？”代表新長方形的高
f + f = f - g + ?
f + g = ?
so we know that the height of the new rectangle is "f+g",
and we can know that the little rectangle on the top has a height of "g"
所以我们可以知道新长方形的高为“f+g”，
当然我们也可以知道那个小长方形的高其实是"g"
所以我們可以知道新長方形的高為“f+g”，
當然我們也可以知道那個小長方形的高其實是"g"
now we can ask: what is the area of the new rectangle?
from the diagram, we can see that the new area is
现在我们可以问：新的长方形的面积为何?
从图中我们可以知道，新的长方形面积为
現在我們可以問：新的長方形的面積為何?
從圖中我們可以知道，新的長方形面積為
(f+g)(f-g)
looks familiar? we just saw this and proved it visually so that we can know that
熟悉吗？我们刚才才看过，所以我们可以知道
熟悉嗎？我們剛才才看過，所以我們可以知道
(f+g)(f-g) = f^2 - g^2
but what does f^2 - g^2 means ?
we can interpret the equation as
不过 f^2 - g^2 是什么意思?
我们可以把这个等式理解为
不過 f^2 - g^2 是什麼意思?
我們可以把這個等式理解為
"
take the original square we start with (which is f^2),
remove a small square from it (which is g^2),
the rest is the new rectangle (which is (f+g)(f-g))
"
“
拿出我们刚开始有的正方形(f^2),
切除一小块正方形(g^2),
那么剩下的就是我们的新长方形((f+g)(f-g))
”
“
拿出我們剛開始有的正方形(f^2),
切除一小塊正方形(g^2),
那麼剩下的就是我們的新長方形((f+g)(f-g))
”with a bit of logic, we can conclude that
再加上一点点逻辑思考，我们可以知道
再加上一點點邏輯思考，我們可以知道
"Since we take the square minus something and it becomes the rectangle,
the rectangle MUST be smaller than the square"
“既然我们是拿一个正方形切除掉一个小正方形然后成为新的长方形，
那么新的长方形 一定 比正方形小。”
“既然我們是拿一個正方形切除掉一個小正方形然後成為新的長方形，
那麼新的長方形 一定 比正方形小。 ”and proof is done.
证明完毕。
證明完畢。
Comments